Um Fermat prime é um número prime da forma 2^(2^n) + 1, onde n é um inteiro não-negativo. Os primeiros cinco primes de Fermat são 3, 5, 17, 257, e 65537. Os primes de Fermat têm o nome de Pierre de Fermat, que os estudou no século XVII.
Os primes de Fermat são interessantes porque são os únicos primes conhecidos da forma 2^(2^n) + 1. Além disso, todos os primes Fermat conhecidos são também primes Mersenne (primes da forma 2^p - 1, onde p é um número primo). No entanto, não se sabe se todos os primes Fermat são também primes Mersenne.
O primeiro Fermat prime, 3, é também o primeiro Mersenne primes. O segundo Fermat prime, 5, é o único prime conhecido da forma 2^(2^2) + 1. O terceiro Fermat prime, 17, é o único prime conhecido da forma 2^(2^3) + 1. O quarto Fermat prime, 257, é o único prime conhecido da forma 2^(2^4) + 1. O quinto e maior Fermat prime conhecido, 65537, é também o maior Mersenne prime conhecido. Os primes de Fermat são infinitos? Os primes Fermat são números primos da forma $2^{2^n}+1$. Os primeiros cinco primes de Fermat são 3, 5, 17, 257, e 65537. O próprio Fermat provou que existem infinitos primes de Fermat, mas o último descoberto foi $2^{2^{42589933-1}}+1$, encontrado em 2013. Não se sabe se existem infinitamente muitos primes de Fermat, mas conjecturam-se que existem.
Como se prova que um número Fermat é primo?
Um número Fermat é um número inteiro positivo da forma $F_n=2^{2^n}+1$ para um número inteiro não negativo $n$. Os primeiros cinco números de Fermat são 3, 5, 17, 257, e 65537.
Não se sabe se existem infinitamente muitos números Fermat principais, mas sabe-se que existem infinitamente muitos números Fermat compostos.
O primeiro número Fermat que é conhecido por ser composto é $F_5=2^{2^5}+1=641cdot 6700417$.
Para provar que um dado número Fermat é primo, pode-se usar a seguinte abordagem em três passos:
1) Usar o facto de $F_n$ ser estranho para mostrar que não é divisível por 2.
2) Use o fato de que $F_n$ é da forma $4k+1$ para mostrar que não é divisível por 3.
3) Use o pequeno teorema de Fermat para mostrar que $F_n$ não é divisível por qualquer número primo $p$ de tal forma que $pmid F_n-1$. Qual é o maior factor prime potencial de 65537? O maior fator prime potencial de 65537 é o próprio 65537. Qual é o menor número de Fermat? O número mínimo de Fermat é 2^(2^(2^(2^2)))+1. Qual é o maior Fermat prime conhecido? O maior Fermat prime conhecido é $2^(2^(2^4))+1. + 1 = 4294967297$.