O Teorema da Incompletude é um teorema em lógica matemática que afirma que qualquer sistema formal suficientemente poderoso para descrever os números naturais é necessariamente incompleto. Ou seja, existem afirmações verdadeiras sobre os números naturais que não podem ser provadas usando o sistema formal.
O teorema foi provado pela primeira vez por Kurt Gödel em 1931. É um resultado fundamental nos fundamentos da matemática e tem implicações para a filosofia da matemática e para a consistência da matemática. Deus pode ser provado matematicamente? A resposta curta é não, Deus não pode ser provado matematicamente. No entanto, alguns argumentam que a matemática pode ser usada para apoiar a existência de Deus. Por exemplo, alguns acreditam que o fato de que o universo parece ser projetado de uma forma matematicamente precisa é uma evidência para a existência de um criador divino. Outros acreditam que o fato de que a matemática é uma linguagem abstrata e universal é evidência para a existência de uma realidade transcendente que existe além do mundo físico.
Quem disse que Deus é um matemático?
A citação "Deus é um matemático" é freqüentemente atribuída ao matemático Pierre-Simon Laplace, que escreveu em sua obra Um Ensaio Filosófico sobre Probabilidades que "podemos considerar o estado atual do universo como o efeito do seu passado e a causa do seu futuro". Um intelecto que num determinado momento conheceria todas as forças que colocam a natureza em movimento, e todas as posições de todos os itens de que a natureza é composta, se esse intelecto fosse também suficientemente vasto para submeter esses dados à análise, ele abraçaria numa única fórmula os movimentos dos maiores corpos do universo e os do mais ínfimo átomo; para tal intelecto nada seria incerto e o futuro tal como o passado estaria presente diante de seus olhos". Porque é que Godel é importante? O trabalho de Gödel teve grandes implicações para os fundamentos da matemática, filosofia e lógica. Em particular, mostrou que a noção de verdade em matemática é inerentemente subjetiva, e que existem afirmações matemáticas que são verdadeiras, mas não podem ser comprovadas dentro da estrutura existente da matemática. Isto levou à compreensão de que a matemática é um sistema incompleto, e que qualquer tentativa de formular um conjunto completo e consistente de axiomas para a matemática está condenada ao fracasso. Deus existe Sim ou não? A resposta curta a esta pergunta é que não podemos saber ao certo se Deus existe ou não. Contudo, há algumas coisas que podemos dizer sobre a possibilidade da existência de Deus.
Primeiro, vamos considerar o que queremos dizer com "Deus".
Para os nossos propósitos, podemos definir Deus como um ser todo-poderoso, onisciente e omnipotente que criou o universo e tudo o que nele existe. Com esta definição em mente, podemos perguntar se é logicamente possível a existência de tal ser.
É importante notar que a questão da existência de Deus não é matemática, e por isso não podemos usar provas matemáticas para determinar uma resposta. Entretanto, podemos usar a lógica para analisar a questão e ver se há alguma contradição envolvida no conceito de Deus.
De um ponto de vista lógico, é possível que exista um ser todo-poderoso, onisciente e omnipotente. Não há nenhuma contradição lógica envolvida na idéia de tal ser.
Contudo, não podemos dizer com certeza que Deus existe, porque não podemos prová-lo matematicamente. Só podemos dizer que é logicamente possível que Deus exista.
O teorema da incompletude de Gödel é verdadeiro?
O teorema da incompletude de Gödel é um teorema em lógica matemática que afirma que qualquer sistema formal consistente dentro do qual uma certa quantidade de aritmética pode ser realizada é incompleto - ou seja, há afirmações do sistema formal que não podem ser provadas nem refutadas dentro do sistema. O teorema tem o nome do matemático alemão Kurt Gödel, que o provou em 1931.
O teorema tem conseqüências de longo alcance para os fundamentos da matemática. Ele implica que nenhum conjunto finito de regras pode produzir todas as afirmações verdadeiras sobre a aritmética; isto é, a aritmética é inerentemente incompleta. Implica também que a consistência da aritmética não pode ser provada dentro da própria aritmética.
O teorema da incompletude é de grande importância para a filosofia da matemática e a filosofia da lógica. Muitas questões matemáticas e filosóficas têm sido inspiradas por ele, incluindo a questão de se a matemática é consistente, a questão de se nossas mentes podem compreender as verdades matemáticas e a questão de se pode haver um padrão objetivo de verdade.